题目

1.已知函数f（x）=1+x-x²/2+x³/3-……+x^2013/2013,
g(x)=1-x+x²/2-x³/3+……-x^2013/2013,设F(x)=[f(x)+3]*[g(x)-3],且方程F（x）=0的实数跟均在【a,b】（a＜b,a,b∈Z）内,则b-a的最小值为?

提问时间：2020-11-03

答案

g(x)=1-x+x²/2-x³/3+……-x^2013/2013
f(x)+3=0或g(x)-3=0
h(x)=f(x)+3=4+x-x²/2+x³/3-……+x^2013/2013
h'(x)=1-x+x^2-.+x^2012
x=-1时,h'(1)=2013>0
-x≠1时,h'(x)=1-x+x^2-.+x^2012=(-x)^2013-1]/[(-x)-1]=(x^2013+1)/(x+1)
x>-1,h'(x)=(x^2013+1)/(x+1)>0
x0恒成立,h(x)为增函数
h(0)=4
h(-1)=3+1-1-1/2-1/3-1/4-.-1/2013
=3-(1/2+1/3+1/4+.+1/2013)
∵1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+.+1/2013
>1+9/20+15/56+19/45+1/20+. +1/20+1/30+.+1/30 +1/40+.+1/40+.+1/2013
>3
∴h(-1)