题目

已知一个圆与Y轴相切,圆心在X—3Y=0上,且在直线Y=X上截得的弦长为2倍的根号7,求此圆的标准方程.
此题答案上有两个结果,不知怎么来的?

提问时间：2020-11-03

答案

答案是：（X+1/4）^2+(Y+1/12)^2=1/16
或
（X-1/4）^2+(Y-1/12)^2=1/16
分析思路：1.与Y轴相切:R(半径)=圆心X轴坐标.(以下设圆心坐标为a、b)
2.圆心在X—3Y=0上:则X=3Y,a=X=R
b=3Y=R/3
3.在直线Y=X上截得的弦长为2倍的根号7:弦长=四分之根号七
利用点到直线距离公式.得,圆心到直线Y=X的距离：
|a-b|/根号2.
4.直线Y=X与圆相交的弦、半径、圆心到直线Y=X的垂线形成直
角三角形.（利用勾股定理）得：
(|a-b|/根号2)^2=R^2-(四分之根号七)^2 由于:a=X=R
b=3Y=R/3
得:(R-R/3)^2/2=R^2-7/16
8*4/9R^2=16R^2-7 (等式两边同乘16)
112R^2=7
R=1/4(正或负)
由于 R=a=3b=1/4(正或负)
则 b=1/12(正或负)