题目

若x，y是正数，则(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2的最小值是（　　）
A. 3
B.

7

2

C. 4
D.

9

2

提问时间：2020-11-03

答案

∵x，y是正数，
∴(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（xy+

1

4xy

+1），
等号成立的条件是x+

1

2y

=y+

1

2x

，
解得x=y，①
又xy+

1

4xy

≥2

xy× 1 4xy

=1
等号成立的条件是xy=

1

4xy

②
由①②联立解得x=y=

2

2

，
即当x=y=

2

2

时(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2的最小值是4
故应选C．

连续用基本不等式求最小值，由题设知(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（x+

1

2y

）×（y+

1

2x

）整理得知(x+

1

2y

)2+(y+

1

2x

)2≥2（xy+

1

4xy

+1），其中等号成立的条件是x=y，又xy+

1

4xy

≥2

xy× 1 4xy

=1等号成立的条件是xy=

1

4xy

与x=y联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是x=y=

2

2

，计算出最值是4

本题考点：基本不等式在最值问题中的应用．

考点点评：本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到．本题是一道易错题．