题目

在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积．

提问时间：2020-11-03

答案

（1）证明：根据正弦定理得，

cosA

cosB

=

sinB

sinA

．
整理为：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以A=B，或者A+B=

π

2

．
由于

b

a

=

4

3

，所以A≠B，所以A+B=

π

2

，即C=

π

2

，
故△ABC是直角三角形．
（2）由（1）可得：a=6，b=8．
在Rt△ABC中，sin∠CAB=

BC

AB

=

3

5

，cos∠CAB=

4

5

sin∠PAC=sin（60°-∠CAB）
=sin60°cos∠CAB-cos60°sin∠CAB
=

3

2

×

4

5

-

1

2

×

3

5

=

1

10

(4

3

-3)．
连接PB，在Rt△APB中，AP=AB•cos∠PAB=5．
所以四边形ABCP的面积
S_{四边形△ABCP}=S_△ABC+S_△PAC
=

1

2

ab+

1

2

AP•AC•sin∠PAC
=24+

1

2

×5×8×

1

10

(4

3

-3)=18+8

3

．

（1）由题设条件

cosA

cosB

＝

b

a

＝

4

3

．利用正弦定理可得

cosA

cosB

＝

sinB

sinA

．，整理得讨论知，A=B或者A+B=

π

2

．又

b

a

＝

4

3

，所以A+B=

π

2

．
由此可以得出，△ABC是直角三角形；
（2）将四边形ABCP的面积表示成两个三角形S_△ABC与S_△PAC的和，S_△ABC易求，S_△PAC需求出线段PA的长度与sin∠PAC的值，利用三角形的面积公式求解即可．

本题考点：正弦定理；圆內接多边形的性质与判定．

考点点评：本题第一问考查正弦定理与分类讨论的思想，第二问是探究型题，需分部来求四边形的面积，化整为零，先求局部再求整体，方法较好．