题目

有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块，…，即前一名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果．他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果，…，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果再加上自己的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小朋友的糖果数的比是13：1，问最多有多少名小朋友？

提问时间：2020-11-03

答案

设有n名小朋友，共传k圈（最后一名传k-1圈），中断时各人手中糖数为a．先研究a的取值，0中断（最后一名手中无糖可传）时，a_n=2nk-2a_n-1=0，a₁=2n-4；1中断（最后一名手中只有一块糖）时，a_n=2nk-1，a_n-1=1，a₁=2n-3．分六种情况讨论：
（1）0中断，a_n：a_n-1=13：1，即

2nk−2

0

=

13

1

，显然无解；
（2）0中断，a_n：a₁=13：1，即

2nk−2

2n−4

=

13

1

⇒26n-52=2nk-2⇒n（13-k）=25，
可得n=25，k=12（n=5，k=8舍去）；
（3）0中断，a₁：a_n=13：1，即

2n−4

2nk−2

=

13

1

⇒26nk-26=2n-4⇒n（13k-1）=11，无整数解；
（4）1中断，a_n：a_n=13：1，即

2nk−1

1

=

13

1

⇒2nk-1=13⇒nk=7，
可得n=7，k=1（n=1，k=7舍去）；
（5）1中断，a_n：a_n=13：1，即

2nk−1

2nk−3

=

13

1

⇒26n-39=2nk-1⇒n（13-k）=19，
可得n=19，k=12；
（6）1中断，a₁：a_n=13：1，即

2n−3

2nk−1

=

13

1

⇒26nk-13=2n-3⇒n（13k-1）=5，无整数解．
由以上分析可得，最多有25位小朋友．
答：最多有25名小朋友．