题目

求f(x)=cos²x在x∈(0,2π)的导数
我只能用△y÷△x算,△y÷△x应该是cos²(x+△x)-cos²x/△x,该怎么化简啊?我不会化简,求教

提问时间：2020-11-03

答案

你是一定要用极限求吗?还是求导也可以?
g(x)=[h(x)]^2,那么g(x)的导数g(x)'=2*h(x)*h(x)'
(cosx)'=-sinx,所以f(x)'=2cosx*(-sinx)=-2sinx*cosx
这是直接求导,比较简单,如果一定要用极限,则如下,
(cos(x+dx)^2-(cosx)^2)/dx=(cos(x+dx)+cosx)*(cos(x+dx)-cosx)/dx %%(a^2-b^2=(a+b)*(a-b))
当dx趋近于0时,cos(x+dx)趋近于cosx,所以变成(cos(x+dx)-cosx)/dx的极限再乘以2cosx
cos(x+dx)=cosx*cosdx-sinx*sindx
所以(cos(x+dx)-cosx)=cosx*(cosdx-1)-sinx*sindx
当dx趋近于0时,cosdx趋近于1,所以前半部分为0,后半部分为
-sinx*sindx/dx=-sinx*(sindx/dx),当dx趋近于0时,sindx/dx趋近于1,所以后半部分等于-sinx
综上所述,导数=2cosx*(-sinx)=-2sinx*cosx