题目

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A,B两点,且|向量OA+向量OB|=|向量OA-向量OB|,其中O为坐标原点,
求实数a的值

提问时间：2020-11-03

答案

正负2
直线与X、Y轴的交点与圆和X、Y轴的交点重合,即直线与圆的交点为（2,2）和
（-2,-2）.题中加绝对值的意思是说,大小相等,不看方向,设（0,2）点为A、（2,0）点为B,则向量OA+向量OB,把OB的起点O平移到A点,设平移后的向量为AC则|向量OA+向量OB|=|向量OA+向量AC|=|向量OC|,OC是矩形OACB的一条对角线,OC与另一条对角线AB大小相等,而|向量AB|=|向量OA-向量OB|,所以a的
值为正负2.
只有矩形的对角线是相等的（正方形是矩形的特殊形式）,所以要想使两个向量
的和与差相等,这两个向量经过平移后必然能组成一个矩形.