题目

锐角三角形ABC,证：tanAtanBtanC相乘大于1

提问时间：2020-11-03

答案

三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
证明如下
tanA=tan(∏-B-C)=-tan(B+C)=
-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
=（tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC
tanA*tanB*tanC - tanA=tanB+tanC
所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
要证明 tanAtanBtanC>1 只要证明 tanA+tanB+tanC>1 即可
因为ABC是锐角三角形,所以A,B,C都大于0,小于90度,
所以tanA>0,tanB>0,tanC>0
又因为,三角形中至少有一个角大于或等于60度（反证法,否则内角和小于180度）,不妨设是角A,
所以tanA>根号3,又tanB>0,tanC>0
所以tanA+tanB+tanC> 根号3 >1
所以tanAtanBtanC>1.