题目

设a>0,b>0,求证(x+a)2(x-b)+x2=0有一个正根,两个负根 （高数 零点定理与介值定理）

提问时间：2020-11-03

答案

记:f(x)=[(x+a)^2](x-b)+x^2
知:f(x) 为三次函数,在整个数轴上连续.且至多有三个零点.
f(0)= -(a^2)b 0,
f(b) = b^2 >0
x 趋向-∞ f(x)趋向-∞,
按次序排列:
-∞ -a,0 ,b ,
由介值定理,知:f(x) 在(-∞ ,-a),(-a,0) 内 ,分别至少有一个负零点,
在(0 ,b) ,内,至少有一个正零点.
由于f(x)至多有三个实零点,即推出:
f(x) 在(-∞ ,-a),(-a,0) 内 ,分别有唯一一个负零点,
在(0 ,b) ,内,有唯一一个正零点.
即证明了:方程:[(x+a)^2](x-b)+x^2=0有一个正根,两个负根