题目

两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．

（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图②），求点D到AG的距离；
（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．

提问时间：2020-11-03

答案

（1）如图②，作DK⊥AG于点K，
∵CD=CE=DE=2cm，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，（1分）
∴∠ADG=360°-2×90°-60°=120°．
∵AD=DG=1cm，
∴∠DAG=∠DGA=30°，（2分）
∴DK=

1

2

DG=

1

2

cm，
∴点D到AG的距离为

1

2

cm．（4分）
（2）证明：∵α=45°，BC∥EH，
∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，
∴∠CNE=90°，（5分）
∴∠DNH=90°，
∵∠D=∠H=90°，
∴四边形MHND是矩形，（6分）
∵CN=NE，
∴DN=NH，（7分）
∴矩形MHND是正方形．（8分）