题目

已知方程f（x）=x²+ax+2b的两个根分别在（0，1），（1，2）内，则a²+（b-4）²的取值范围为（　　）
A. (

17

，

20

)
B. (

9 5

5

，

20

)
C. （17，20）
D. (

81

5

，20)

提问时间：2020-11-03

答案

f（x）开口向上
两个根分别在（0，1），（1，2）内，所以，f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0
2b＞0
（a+2b+1）＜0
（2a+2b+4）＞0
所以，
在同一直角aOb坐标系里，画出直线
b=0，a+2b+1=0，a+b+2=0
记b=0和a+2b+1=0的交点为A，a+2b+1=0和a+b+2=0的交点为Q，
b=0和a+b+2=0的交点为B
那么，A（-1，0），Q（-3，1），B（-2，0）
我们知道，
b＞0
a+2b+1＜0
a+b+2＞0
就是三角形AQB．
a²+（b-4）²其实就是点P（0，4）到三角形区域的距离的平方
根据图，我们知道，最小的距离是P垂直于AQ时的距离，这时候，
最小距离d=

9

5

最大距离是，PQ=

20

因为该三角形的边线不符合不等式条件！
所以，a²+（b-4）²的范围是（

81

5

，20）

根据方程f（x）=x²+ax+2b的两个根分别在（0，1），（1，2）内，推出a、b的关系，利用线性规划，得到ab的可行域，a²+（b-4）²的含义是可行域内的点到（0，4）点结论的平方，求其范围即可．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，线性规划，是难题．