题目

已知函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．
（1）求该函数的单调增区间；
（2）求该函数的最大值及对应的x的值；
（3）求该函数的对称轴方程与对称中心坐标．

提问时间：2020-11-03

答案

y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=

1-cos2x

2

+sin2x+

3(1+cos2x)

2

=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．（5分）
（1）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，得-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ(k∈Z)．
所以函数的单调增区间为[-

3π

8

+kπ，  

π

8

+kπ](k∈Z)．（8分）
（2）令2x+

π

4

=

π

2

+2kπ，得x=

π

8

+kπ(k∈Z)，
所以当x=

π

8

+kπ(k∈Z)时，ymax=2+

2

．（12分）
（3）由2x+

π

4

=

π

2

+kπ，得x=

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以该函数的对称轴方程为x=

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)．
由2x+

π

4

=kπ，得x=-

π

8

+

kπ

2

(k∈Z)，
所以，该函数的对称中心为：(-

π

8

+

kπ

2

，2)(k∈Z)．（16分）

（1）利用二倍角公式，降次升角，以及两角和的正弦函数，化简函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x为y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，利用正弦函数的单调增区间，求该函数的单调增区间；
（2）利用正弦函数的最值以及取得最值时的x值，直接求该函数的最大值及对应的x的值；
（3）利用正弦函数的对称轴和对称中心，直接求该函数的对称轴方程与对称中心坐标．

本题考点：正弦函数的单调性；正弦函数的对称性；三角函数的最值．

考点点评：本题是基础题，考查正弦函数的单调性，对称轴方程，对称中心，最值，利用基本函数的基本性质，是集合本题的关键，基本知识掌握的好坏，直接影响解题效果．