题目

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N．求证：直线MN恒过定点．

提问时间：2020-11-03

答案

设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直线AB：y=k（x-1）代入y²=4x，得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₃=

x1+x2

2

=1+

2

k2

，y₃=k（x₃-1）=

2

k

同理可得，x₄=1+2k²，y₄=-2k
∴k_MN=

y 3−y4

x 3−x4

=

k

1−k2

∴直线MN为y-

2

k

=

k

1−k2

（x-1-

2

k2

），即y=

k

1−k2

（x-3），
结合直线方程的点斜式，可得直线恒过定点P（3，0）．