题目

设M为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上一点,F1,F2为椭圆的左,右焦点,如果∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°
则椭圆的离心率为?

提问时间：2020-11-03

答案

分析：根据题意,△MF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形．利用直角三角形三角函数的定义,可得﹙|MF1|+|MF2|﹚/|F1F2|=√6/2,最后结合椭圆的定义和离心率的公式,可求出椭圆的离心率．
∵△MF1F2中,∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,
∴∠F1MF2=90°,即△MF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形．
∵M是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)上一点,
∴|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c
∵Rt△MF1F2中,sin∠MF1F2=|MF2|/|F1F2|=﹙√6+√2﹚/4,
sin∠MF2F1=|MF1|/|F1F2|=﹙√6-√2﹚/4
∴|MF2|/|F1F2|+|MF1|/|F1F2|=√6/2,即2a/2c=√6/2
因此椭圆的离心率e=c/a=1/ √6/2=√6/3
点评：本题给出椭圆上一点与椭圆两焦点构成锐角为15度的直角三角形,求椭圆的离心率,着重考查了椭圆的定义与基本概念和三角函数的定义等知识,属于基础题．
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