题目

设A、B为m×n矩阵，证明A与B等价的充要条件为R（A）=R（B）．

提问时间：2020-11-03

答案

证明：
（必要性）设A与B等价，则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵，而
初等变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（B）．
（充分性）设R（A）=R（B），则A、B的标准型都为

Er O O O

即A、B都与

Er O O O

等价，从而A与B等价．

根据等价的定义“初等变换前后的矩阵是等价的”和“初等变换不改变矩阵的秩”证明必要性；根据秩相等的矩阵，它们的标准型是一样的，证明充分性．

本题考点：矩阵等价的概念和判断．

考点点评：此题考查矩阵秩的性质和矩阵等价的定义，是基础知识点．