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题目
设A、B为m×n矩阵,证明A与B等价的充要条件为R(A)=R(B).

提问时间:2020-11-03

答案
证明:
(必要性)设A与B等价,则B可以看成是A经过有限次初等变换得到的矩阵,而
初等变换不改变矩阵的秩,所以R(A)=R(B).
(充分性)设R(A)=R(B),则A、B的标准型都为
ErO
OO

即A、B都与
ErO
OO
等价,从而A与B等价.
根据等价的定义“初等变换前后的矩阵是等价的”和“初等变换不改变矩阵的秩”证明必要性;根据秩相等的矩阵,它们的标准型是一样的,证明充分性.

矩阵等价的概念和判断.

此题考查矩阵秩的性质和矩阵等价的定义,是基础知识点.

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已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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