题目

数列A[n]满足(A[n+1]-A[n])^2=2(A[n+1]+A[n]),求数列,怎么求~用高中的方法-.-~

提问时间：2020-11-03

答案

(a(n+1)-an)^2=2(a(n+1)+an) ①
(an-a(n-1))^2=2(an+a(n-1)) ②
①-②,得 (a(n+1)-a(n-1))*（a(n+1)-2an+a(n-1)）=2(a(n+1)-a(n-1)) ③
当a(n+1)=a(n-1)时 ,数列是个摆动常数列 an= a1 (2k)
a2(2k-1) ( k是正整数)
当a(n+1)≠a(n-1)时,③式可变成 a(n+1)-2an+a(n-1)=2 ④
④式可以变成 a(n+1)-an=an-a(n-1)+2 设 bn=a(n+1)-an
则 bn=b(n-1)+2 bn是等差数列 bn=b1+2(n-1)=a2-a1+2(n-1)=a(n+1)-an
a(n+1)=an+2n+(a2-a1-2) 设a2-a1-2=p
a(n+1)=an+2n+p ⑤
a(n+1)-an=2n+p ⑥
由⑥可以得 an=(an-a(n-1))+.(a2-a1)+a1=(2n+p+2+p)*n/2
把p的值代入即可得 an的通项