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题目
如图,四边形ABCD中,∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角,若设∠A=α,∠D=β;

(1)如图①,α+β>180°,试用α,β表示∠F;
(2)如图②,α+β<180°,请在图中画出∠F,并试用α,β表示∠F;
(3)一定存在∠F吗?如有,求出∠F的值,如不一定,指出α,β满足什么条件时,不存在∠F.

提问时间:2020-11-03

答案
(1)∵∠ABC+∠DCB=360°-(α+β),
∴∠ABC+(180°-∠DCE)=360°-(α+β)=2∠FBC+(180°-2∠DCF)=180°-2(∠DCF-∠FBC)=180°-2∠F,
∴360°-(α+β)=180°-2∠F,
2∠F=α+β-180°,
∴∠F=
1
2
(α+β)-90°;
(2)∵∠ABC+∠DCB=360°-(α+β),
∴∠ABC+(180°-∠DCE)=360°-(α+β)=2∠GBC+(180°-2∠HCE)=180°+2(∠GBC-∠HCE)=180°+2∠F,
∴360°-(α+β)=180°+2∠F,
∠F=90°-
1
2
(α+β);
(3)α+β=180°时,不存在∠F.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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