题目

已知函数y=x²-2ax+1（a为常数）在-2≤x≤1上的最小值为h（a），试将h（a）用a表示出来，并求出h（a）的最大值．

提问时间：2020-11-03

答案

∵y=（x-a）²+1-a²，
∴抛物线y=x²-2ax+1的对称轴方程是x=a．（1分）
（1）当-2≤a≤1时，由图①可知，当x=a时，该函数取最小值h（a）=1-a²；（3分）
（2）当a＜-2时，由图②可知，当x=-2时，该函数取最小值h（a）=4a+5；（5分）
（3）当a＞1时，由图③可知，当x=1时，该函数取最小值h（a）=-2a+2（7分）
综上，函数的最小值为h(a)＝

4a+5 a＜−2 1−a2 −2≤a≤1 −2a+2，a＞1.

（8分）
当a＜-2时h（a）＜-3（9分）
当-2≤a≤1时-3≤h（a）≤1（10分）
当a＞1时h（a）＜0（11分）
∴h（a）≤1
∴h（a）_max=1（12分）

由该函数的性质可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：解决二次函数的最值问题，应该先求出二次函数的对称轴，判断出对称轴与区间的关系，进一步判断出二次函数的单调性，进一步求出函数的最值．