题目

在数列An中,a1=根号3,an+1=根号（1+an²）-1/an（n∈N*）《根号包含（1+an²）,根号（1+an²）-1 是一个整体 共同除以an》,数列Bn满足0＜bn＜π/2,且an=tanbn（n∈N*）
（1）求b1 b2的值
（2）求数列bn的通项公式
（3）设数列的前n项和为sn,若对于任何的n∈N*,不等式Sn≥（-1）的n次方λbn恒成立,求实数λ的取值范围.

提问时间：2020-11-03

答案

1 a1=√3 b1= arctana1 b1=π/3 (0 a2=[根号(1+a1^2)-1]/a1=√3/3 b2=arctana2=π/6
2 an+1=[根号（1+an^2)-1]/an=[根号(1+tanbn^2)-1]/tanbn=(1-cosbn)/sinbn
∴ tanbn+1=sinbn+1/cosbn+1=(1-cosbn)/sinbn
整理得 cos(bn+1-bn)=cosbn+1
∵0∴bn+1-bn=-bn+1 即 bn+1=1/2bn
b1=π/3 ∴bn=2^(-n+1)π/3
3 Sn=2π/3[1-2^(-n)]≥(-1)^nλbn=(-1)^nλ2^(-n+1)π/3
整理不等式
（-1)^nλ≤2^n-1
当n为奇数 λ≥ 1-2^n
当n为偶数 λ≤2^n-1