题目

在ΔABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S(PAB)=S(PBC)=S(PCA).
求证：PA^2+PB^2=5PC^2.

提问时间：2020-11-03

答案

证明 已知ΔABC是直角三角形,AB为斜边,记AB=c,BC=a,CA=b.则有:
c^2=a^2+b^2. (1)
满足:S(PAB)=S(PBC)=S(PCA),易证P是RtΔABC的重心.
设mc,ma,mb分别表示RtΔABC的对应边AB,BC,CA上的中线,则有
PC=2mc/3, PA=2ma/3, PB=2mb/3.
而三角形中线公式为:
4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2,
4(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2,
4(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2.
欲证明PA^2+PB^2=5PC^2,等价于证明
4(ma)^2+4(mb)^2=20(mc)^2 (2)
因为在RtΔABC中,4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=c^2
而4(ma)^2+4(mb)^2=4c^2+a^2+b^2=5c^2.
所以(2)式成立.