题目

设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ= ___ ．

提问时间：2020-11-03

答案

f（x）=sinx-2cosx=

5

（

5

5

sinx-

2 5

5

cosx）=

5

sin（x-α）（其中cosα=

5

5

，sinα=

2 5

5

），
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ-α）=1，即sinθ-2cosθ=

5

，
又sin²θ+cos²θ=1，联立解得cosθ=-

2 5

5

．
故答案为：-

2 5

5

f（x）解析式提取

5

，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ-2cosθ=

5

，与sin²θ+cos²θ=1联立即可求出cosθ的值．

本题考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．