题目

在三角形ABC中,已知P为BC边垂直平分线上一点,且角PBG等于二分之一角A,BP、CP分别交AC、AB于D、E.求证：BE=CD

提问时间：2020-11-03

答案

作PG与AB交于点Q,连接QC,QC与BD交与点R
∵PG垂直平分BC, 
∴所以PB=PC,∠PBC=∠PCB=∠A/2
 ∴∠DPC=2∠PBC=∠A 
又∵∠DCP=∠ECA 
∴∠AEC=180°-∠A-∠ECA=180°-∠DPC-∠DCP=∠PDC 
∴△CEA∽△CDP 同理△BDA∽△BEP 
∵∠PBC=∠PCB ∠PGB=∠PGC=90°
 ∴∠BPG=∠CPG 
∴∠QPR=∠BPG=∠CPG=∠QPE
 又∵QP=QP,∠PQE=PQR 
∴△QEP≌△QRP 
∴∠AEC=∠QEP=∠QRP=∠DRC
 又∵△CEA∽△CDP 
∴∠AEC=∠CDP 
∴∠CDP=∠DRC 
∴CR=CD 
∵BE=CR 
∴BE=CD