题目

设a与b是两个不相等的有理数,试判断实数（a+根号2）/（b+根号2）是有理数还是无理数?为什么?要分类讨论

提问时间：2020-11-03

答案

假设（a+√2)/(b+√2)是有理数
则（a+√2)/(b+√2)=m/n,(m,n是整数,n≠0,m≠n)
∴an+√2n=bm+√2m
∴an-bm=√2m-√2n
∴an-bm=√2(m-n) （#）
∵a,b,m,n是有理数
∴an-bm是有理数
∵m-n≠0,m,n是整数,√2是无理数
∴√2(m-n)是无理数
那么(#）左边无有理数,右边为无理数,矛盾
∴（a+√2)/(b+√2)是有理数错误
∴（a+√2)/(b+√2)是无理数