题目

平面直角坐标系xOy内有向量OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1),点Q为直线OP上一动点.
（1）当向量QA·QB取得最小值时,求OQ坐标；
（2）当点Q满足（1）中条件时,求cos角AQB值.

提问时间：2020-11-03

答案

（1）设Q（x,y),则QA=（1-x,7-y),QB=(5-x,1-y）
QA·QB=5-6x+x²+7-8y+y²=（x-3)²+（y-4)²-13
（x-3)²+（y-4)²的几何意义表示点（x,y)到点（3,4）的距离的平方,故（x-3)²+（y-4)²的最小值为点P（2,1)到点（3,4）的距离的平方=10,所以QA·QB最小值为-3,此时OQ=（2,1）
（2）cosA=(QA·QB)/[|QA||QB|]=-3/3 根号37=-根号37/37