题目

如果函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）对任意的实数x，都有f（1+x）=4f（

x

2

提问时间：2020-11-03

答案

（1）∵f（1+x）=4f（

x

2

），
∴a（x+1）²+b（x+1）+c=4[a（

1

2

x）²+b（

1

2

x）+c，
整理得，x²+（2a+b）x+a²+b+c=ax²+2bx+4c，
∴2a+b=2b，a=1，a²+b+c=4c，
解得a=1，b=2，c=1，
∴

b

a

=2，

c

a

=1；
（2）∵f（x）=ax²+bx+c，f（x）＜4a；
∴ax²+bx+c＜4a；
由（1）得，a=1，b=2，c=1，
∴x²+2x-3＜0，
解得-3＜x＜1，
∴a＞0时，f（x）的解集为（-3，1）
（3）由（1）得，f（x）=x²+2x+1（a＞0），f（0）=1，
∵f（sinα）≤sinα+m恒成立，
∴sin²α+2sinα+1）≤sinα+m，
∴m≥sin²α+sinα+1=（sinα+

1

2

）²+

3

4

，
∵sinα∈[-1，1]，
∴当sinα=1，sin²α+sinα+1有最大值，最大值为3，
∴当m≥3时不等式f（sinα）≤sinα+m恒成立，
故实数m取值范围为[3，+∞）．