题目

已知数列{a_n}的首项a₁=3，通项a_n与前n项和S_n之间满足2a_n=S_nS_n-1（n≥2）．
（1）求证{

1

Sn

}是等差数列，并求公差；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

提问时间：2020-11-03

答案

（1）∵2a_n=S_nS_n-1（n≥2）∴2（S_n-S_n-1）=S_nS_n-1
两边同时除以S_nS_n-1，得2(

1

Sn-1

-

1

Sn

)=1
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=-

1

2

∴{

1

Sn

}是等差数列，公差d=-

1

2

（2）∵

1

S1

=

1

a1

=

1

3

∴

1

Sn

=

1

3

+(n-1)×(-

1

2

)=-

1

2

n+

5

6

=

5-3n

6

∴Sn=

6

5-3n

当n≥2时，an=

1

2

SnSn-1=

1

2

×

6

5-3n

×

6

8-3n

=

18

(5-3n)(8-3n)

∴an=

3 ，n=1 18 (8-3n)(5-3n) ，n≥2

（1）由题设知2（S_n-S_n-1）=S_nS_n-1，两边同时除以S_nS_n-1，得2（(

1

Sn−1

−

1

Sn

)＝1，由此知{

1

Sn

}是等差数列，公差d＝−

1

2

．
（2）由题设知

1

Sn

＝

1

3

+(n−1)×(−

1

2

)＝

1

2

n+

5

6

，故Sn＝

6

3n+5

．由此能导出数列{a_n}的通项公式．

本题考点：数列递推式；等差关系的确定．

考点点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．