题目

在数列中,已知a1=1,an+1-an=sin(n+1)π/2,记Sn为数列an的前n项和,则S2014=
网上有这样的答案
a1=1,
a（n+1）-an=sin(n+1)π/2
a2-a1=-1,a2=0 a3-a2=0,a3=a2=0
a4-a3=1,a4=1 a5-a4=0,a5=a4=1
得数列1,0,0,1,1,0,0,1,1,0..S2014=2012/2+1=1007
可是a2-a1=sin2π/2=0 不等于-1啊
最后得的数列应该是1,1,0,0,1,1,0,0...

提问时间：2020-11-03

答案

网上有错误,但原理可取.
为防止混淆,下标一律加括号.
a(1)=1
a(2)-a(1)=sinπ=0 a(2)=a(1)=1
a(3)-a(2)=sin(3π/2)=-1 a(3)=a(2)-1=0
a(4)-a(3)=sin(4π/2)=0 a(4)=a(3)+0=0
a(5)-a(4)=sin(5π/2)=1 a(5)=a(4)+1=1
……
a(n+1)-a(n)=sin(n+1)π/2 sin(n+1)π/2从n=1开始,以0,-1,0,1的次序循环,
所以最后得的数列应该是1,1,0,0,1,1,0,0...,每连续4个(为组）的和为2, 2014/4=503+2/4,前2014个数分503组,和为1006,剩余两个为一组的前两个,和为2,所以总和 为1008.