题目

△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°．

（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；
（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

提问时间：2020-11-03

答案

证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°，
∴BD=2AD=AD+CD；
（2）成立．
理由：在DB上截取DE=AD，
∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，

AB＝AC ∠BAE＝∠CAD AE＝AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD，
∴BD=DE+BE=AD+CD．

（1）由D点在AC的垂直平分线上，可得AD=CD，又由∠ADB=60°，△ABC是等边三角形，可得△ABD是含30°角的直角三角形，继而证得结论；
（2）首先在DB上截取DE=AD，可证得△ADE是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，易证得△BAE≌△CAD（SAS），继而证得结论．

本题考点：线段垂直平分线的性质．

考点点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．