题目

若两个矩阵等价,则它们的行列式相同吗

提问时间：2020-11-02

答案

“向量组等价”和“由向量组构成的矩阵等价”是两回事.
它们的定义如下：
向量组等价：两个向量组可以相互线性表示.
矩阵等价：两个矩阵形式相同,且秩相等.
所以这是两回事,不能由一个推出另一个.
反例：
(1)向量组等价,但是构成的矩阵不等价.这个简单,只要让两个向量组里向量的个数不同就行了,这样构成的矩阵形式就不同,更谈不上等价.
向量组1：[1,0][0,1][1,1]
向量组2：[1,0][0,1]
这样一来向量组之间可以相互表示,但是向量组1构成的矩阵是2*3的,向量组2构成的矩阵是2*2的.形式都不同,矩阵当然不等价.
（2）矩阵等价但向量组不等价.
矩阵1：
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
矩阵2：
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
这两个矩阵的秩都是1,所以等价,但是其列向量分别是：
1:[1 0 0 0 ],[0 0 0 0 ],[0 0 0 0 ],[0 0 0 0 ]
2:[0 0 0 0 ],[0 0 0 0 ],[0 0 0 0 ],[0 0 0 1 ]
是不能相互表示的.
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