题目

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*
（1）证明数列{a_n-n}为等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

提问时间：2020-11-02

答案

（1）∵a_n+1=4a_n-3n+1n∈N^*，
∴a_n+1-（n+1）
=4a_n-3n+1-（n+1）…（4）分
=4a_n-4n=4（a_n-n）…（6）分
∴{a_n-n}为首项a₁-1=1，公比q=4的等比数列…（8）分
（2）∵a_n-n=4^n-1
∴a_n=n+4^n-1…（10）分
S_n=1+2+…+n+（1+4+…+4^n-1）
=

n(n+1)

2

+

1−4n

1−4

=

n(n+1)

2

+

4n−1

3

…（13）分