题目

求解一道数学题 高一
在数列{An}中,A1=2, A（n+1）=kAn+k^n+1+(2-k)*2^n(n是大于0的自然数),其中k＞0．求：
（1）数列｛An｝的通项公式；
（2）数列｛An｝的前n项的和Sn
（3）证明存在t(t是大于0的自然数） 使得A(n+1)/An

提问时间：2020-11-02

答案

由题意:A（n+1）=kAn+k^(n+1)+(2-k)*2^n
两边除以k^(n+1):
A(n+1)/k^(n+1)=A(n)/k^(n)+1+(2-k)/k .(2/k)^n
即 A(n+1)/k^(n+1)=A(n)/k^(n)+1+(2/k-1) .(2/k)^n
移项得:
A(n+1)/k^(n+1)-(2/k)^(n+1)=A(n)/k^(n)+1-(2/k)^n
令U(n)=A(n)/k^n-(2/k)^n,则
U(n+1)=U(n)+1,其中U(1)=2/k-2/k=0.
所以 U(n)=0+1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2
故A(n)/k^n-(2/k)^n=n(n-1)/2
通项为:A(n)=n(n-1)k^n/2+2^n
2.错位相减.
OK...