题目

一个数学导数题
若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+15/4x-9相切,求a?
若y=0.则y=ax^2+15/4x-9顶点在x轴得a=-25/64为什么?

提问时间：2020-11-02

答案

首先,通过过(1,0)点的直线L与曲线C1:y=x^3相切的条件,求出此直线的斜率k
设直线L的方程为y=k(x-1),其中k为斜率
设L与C1的切点为A(x0,y0),鉴于A点既在L上也在C1上,可得出x0与y0的两个数量关系：
y0=k(x0 -1) ①
y0=x0^3 ②
而与曲线C1相切的直线,其斜率k1可以通过对C1的解析式求导获得,为：
y'=(x^3)'=3x^
无疑,当切点为A(x0,y0)时,此时的切线斜率为k1=3x0^
而由于此点恰为直线L与曲线C1的切点所在,故此时有k1=k成立,即：
k=3x0^ ③
将②,③两式分别代入①式,得到关于x0的方程,化简得：
2x0^3 =3x0^
此方程的解一定是x0=0,或者x0=3/2
而当x0=0时,k=0,直线L的方程就是y=0,即x轴,通过其与奇函数y=x^3图像的情况对比分析,可知此时的L与C1并不是相切关系,而仅仅是一种相交,故,x0=0,k=0不符合题意,舍去
于是,得出x0的唯一值为x0=3/2
就此求出k=3*(3/2)^=27/4
直线L的方程即为：
y=27x/4 -27/4
下面求a的值就容易了：
将抛物线C2：y=ax^ +15x/4 -9与L：y=27x/4 -27/4,两者的解析式联立,消去y可得到一个关于x的一元二次方程：
ax^-3x/2 -9/4 =0
由于L与C2相切,即两者有且仅有一个交点,故上述方程的△=0
即：△=(-3/2)^ - 4a*(-9/4)=0
解出a
=-1/4