题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）（c＞0）,过点E（a^2/c,0）的直线与椭圆交于点A、B两点,且F1A//F2B,|F1A|=2|F2B|.
1.求椭圆的离心率.2.求直线AB的斜率.3.设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H（m,n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上,求n/m的值

提问时间：2020-11-02

答案

（1）绝对弄错了,应该是|F2B|=2|F1A|,你画个图 就知道题目说的有问题
F1A//F2B,则△EAF1∽△EBF2
|EF1|/|EF2|=|F1A|/|F2B|=1/2
|EF1|=a²/c-c,|EF2|=a²/c+c
得a²=3c²
则e=c/a=√3 /3
（2）设A(x1,y1)B(x2,y2),分别过A、B作右准线的垂线AC与BD,B作左准线的垂线BH
△EAF1∽△EBF2,则y2=2y1（相似三角形对应高之比等于相似比）
则,|BD|=2|AC|,根据椭圆第二定义
B到左准线的距离|BH|=|BF2|/e,A到右准线的距离|AC|=|AF1|/e
|F2B|=2|F1A|,|BH|=2|AC|
故|BH|=|BD|,B点到左右准线的距离相等,则B必然在y轴上,
则B的坐标为(0,b)
直线AB经过点E(a²/c,0),点B(0,b),e=√3/3,AB斜率k=-bc/a²=-√2/3
则其方程为y=-√2/3+b