题目

已知△ABC中,（tanA+1)(tanB+1)=2,AB=2,求角C的度数；求三角形ABC面积的最大值.
还有一题~
已知函数f(x)=(sin4x+2√3*sin²2x)*(tanx+cotx)(x≠2／kπ，k∈Z）
（1）求函数f(x)最小正周期
（2）设△ABC三个内角所对的边为a,b,c,且f(A)=4,f(B)=8,求a:b:c的值

提问时间：2020-11-02

答案

已知△ABC中,（tanA+1)(tanB+1)=2
所以,tanAtanB+tanA+tanB+1=2
即tanA+tanB=1-tanAtanB
所以,
tanC
= - tan(A+B)
= - (tanA+tanB)/[1-tanAtanB]
= -1
所以,C=135°
因为,AB=c=2
所以,a²+b²-2abcosC=c²
所以,a²+b²+√2ab=4
有基本不等式,
4=a²+b²+√2ab
≥2ab+√2ab
=(2+√2)ab
所以,ab≤4-2√2
所以,S⊿ABC=(1/2)absinC=√2-1
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补充题：
已知函数f(x)=(sin4x+2√3*sin²2x)*(tanx+cotx)(x≠2／kπ,k∈Z）
（1）求函数f(x)最小正周期
f(x)=(sin4x+2√3*sin²2x)*(tanx+cotx)
=(sin4x+2√3*sin²2x)*(sinx/cosx+cosx/sinx)
=(sin4x+2√3*sin²2x)/(sinxcosx)
=(4sin4x+4√3*sin²2x)/(2sinxcosx)
=(8sin2xcos2x+4√3*sin²2x)/(sin2x) [x≠2／kπ,k∈Z]
=8cos2x+4√3sin2x
=16[(1/2)*cos2x+(√3/2)*sin2x]
=16sin(2x+π/6)
周期是T=2π/2=π
（2）设△ABC三个内角所对的边为a,b,c,且f(A)=4,f(B)=8,求a:b:c的值
已知f(x)=16sin(2x+π/6)
所以,f(A)=16sin(2A+π/6)=4,f(B)=16sin(2B+π/6)=8
sin(2A+π/6)=1/4,sin(2B+π/6)=1/2
A=0.5*[arcsin(1/4)-π/6],B=60°