题目

1.求函数y=-2x^2+|x|的值域 2.设a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根当x为何值时（a+1)^2+（b+1)^2
2.设a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根,当x为何值时（a+1)^2+（b+1)^2有最小值?最小值为多少?

提问时间：2020-11-02

答案

题目中的结论应是k为何值时（a+1)^2+（b+1)^2有最小值
1、y=-2x^2+|x|=-2|x|^2+|x|=-2[|x|- 1/4]^2+1/8,注意|x|>=0,当|x|=1/4时,y有最大值1/8,
所以值域为y<=1/8
2、判别式>=0,得k>=5,或k<=-4,因为a,b是二次方程x^2-2kx+k+20=0的两个实数根
所以a+b=2k,ab=k+20,所以（a+1)^2+（b+1)^2 =(a^2+b^2)+2(a+b)+2
=(a+b)^2-2ab+2(a+b)+2=4k^2-2(k+20)+4k+2=4k^2+2k-38=4(k+1/4)^2-1/4-38
当k>=-1/4时,为增函数；当k<=-1/4时,为减函数
当k=5时,（a+1)^2+（b+1)^2 =4(k+1/4)^2-1/4-38=72
当k=-4时,（a+1)^2+（b+1)^2 =4(k+1/4)^2-1/4-38=18
所以最小值为18