题目

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是

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，D是AC的中点．

（1）求证：平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

提问时间：2020-11-02

答案

（1）证明：∵正三棱住ABC-A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC，又∵BD⊥AC，A1A∩AC=A，∴BD⊥平面A1ACC1，又∵BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1ACC1…6分（2） 作AM⊥A1D，M为垂足，由（1）知AM⊥平面A1DB，设AB1与A1B相交于...

（1）由已知条件得AA₁⊥底面ABC，BD⊥平面A₁ACC₁，由此能证明平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁．
（2）作AM⊥A₁D，设AB₁与A₁B相交于点P，连接MP，则∠APM就是直线A₁B与平面A₁BD所成的角，由此能求出直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

本题考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

考点点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线性与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．