题目

设函数f（x）=e^x-e^-x
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．

提问时间：2020-11-02

答案

（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=ex+e-x．由于ex+e−x≥2ex•e−x＝2，故f'（x）≥2．（当且仅当x=0时，等号成立）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，则g'（x）=f'（x）-a=ex+e-x-a，（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=ex+e-x-a...

（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号．得到f'（x）≥2；
（Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）-ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．

本题考点：导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：考查学生利用导数运算的能力，利用导数求闭区间上函数的最值的能力．