题目
过点P(-2,0)作抛物线y²=4x的直线,交于A,C两点,过抛物线焦点F,连接AF,CF,分别延长
交抛物线与B,D,设AF向量=λFB,CF向量=λ'=FD
(1)λ与A的横坐标有何关系,并说明理由
(2)求λ+λ‘的范围
交抛物线与B,D,设AF向量=λFB,CF向量=λ'=FD
(1)λ与A的横坐标有何关系,并说明理由
(2)求λ+λ‘的范围
提问时间:2020-11-02
答案
(1)设A(y1²/4,y1),F是抛物线的焦点(1,0),B(x0,y0)
AF=(1-y1²/4,-y1),FB=(x0-1,y0)
∵AF=λFB
∴1-y1²/4=λ(x0-1),-y1=λy0
且B在抛物线上,所以y0²=4x0,∴x0=y0²/4
解得:y0²=4/λ
∴A的横坐标y1²/4=λ²y0²/4=(λ²×4/λ)/4=λ
∴A的横坐标=λ
(2)同(1)可知:C的横坐标=λ‘
设A的横坐标为x1,C的横坐标为x2
直线l:y=k(x+2)与抛物线联立
得:k²x²+(4k²-4)x+4k²=0
△=(4k²-4)²-16k^4=-32k²+16>0
∴-√2/2<k<√2/2
由根与系数的关系知:x1+x2=λ+λ'=(4-4k²)/k²=4/k²-4
∵0≤k²<1/2
∴4/k²-4>8-4=4
∴λ+λ'>4
AF=(1-y1²/4,-y1),FB=(x0-1,y0)
∵AF=λFB
∴1-y1²/4=λ(x0-1),-y1=λy0
且B在抛物线上,所以y0²=4x0,∴x0=y0²/4
解得:y0²=4/λ
∴A的横坐标y1²/4=λ²y0²/4=(λ²×4/λ)/4=λ
∴A的横坐标=λ
(2)同(1)可知:C的横坐标=λ‘
设A的横坐标为x1,C的横坐标为x2
直线l:y=k(x+2)与抛物线联立
得:k²x²+(4k²-4)x+4k²=0
△=(4k²-4)²-16k^4=-32k²+16>0
∴-√2/2<k<√2/2
由根与系数的关系知:x1+x2=λ+λ'=(4-4k²)/k²=4/k²-4
∵0≤k²<1/2
∴4/k²-4>8-4=4
∴λ+λ'>4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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