题目

若点(√2,2)在幂函数f(x)的图像上,点(-2,1/4)在幂函数的图像上.
定义h(x)=①f(x),f(x)≤g(x);②g(x),f(x)>g(x).试求函数h(x)的最大值以及单调性,奇偶性

提问时间：2020-11-02

答案

设：f(x)=x^a,g(x)=x^b
f(√2)=(√2)^a=2=(√2)^2,a=2,
f(x)=x^2
g(-2)=(-2)^b=1/4=(1/2)^2=2^(-2)=(-2)^(-2),b=-2,
g(x)=x^(-2)
f(x)≤g(x),x^2≤x^(-2) ,x^4≤1,(x^2+1)(x+1)(x-1)≤0 -1≤x≤1
f(x)＞g(x),得到x＜-1 ,或 x＞1
所以h(x)=①x^2 -1≤x≤1; ②x^(-2) x＜-1 ,或 x＞1
后面的问题利用图像可得：最大值为1 （x=±1时）.
在（-∞,-1）,（0,1）上分别为增函数；在[-1,0],[1,+∞)上分别为减函数.