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题目
已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B两点
求证:当且仅当AB⊥x轴时,线段AB最短
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提问时间:2020-11-02

答案
焦点F(p/2,0),设过焦点的直线方程为 x=my+p/2,代入抛物线方程得
y^2=2p(my+p/2),
即 y^2-2pmy-p^2=0,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 y1+y2=2pm,y1*y2=-p^2.
由此得 x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm^2+p.
由抛物线线的定义,AF=x1+p/2,BF=x2+p/2,
因此,AB=AF+BF=x1+x2+p=2pm^2+2p>=2p,
当且仅当 m=0 即 直线AB丄x轴时,AB最短,为2p.(通径最短)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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