题目

已知圆锥曲线C经过定点P（3，2

3

），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=-1，斜率为2的直线l交圆锥曲线C于A、B两点，且|AB|=3

5

，求圆锥曲线C和直线ℓ的方程．

提问时间：2020-11-02

答案

∵圆锥曲线的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=-1，
∴圆锥曲线C是焦点为F（1，0）的抛物线，且p=2
∴抛物线方程为y²=4x；…（3分）
设ℓ的方程为y=2x+b，A（x₁y₁），B（x₂，y₂）
由y=2x+b代入y²=4x，消去y，整理得：4x²+4（b-1）x+b²=0…（4分）
则x₁+x₂=-（b-1），x₁x₂=

b2

4

…（5分）
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]

＝

5(1−2b)

…（6分）
又∵|AB|=3

5

，∴1-2b=9，∴b=-4 …（7分）
故直线ℓ的方程为y=2x-4…（8分）
综上所述：圆锥曲线C的方程为y²=4x，直线ℓ的方程为y=2x-4…（10分）

利用抛物线的定义，可得抛物线方程，直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求得直线方程．

本题考点：抛物线的标准方程；直线的一般式方程．

考点点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．