题目
利用极限存在准则证明数列:2的正平方根、(2+2的正平方根)的正平方根、【2+(2+2的正平方根)的正平方根】的正平方根.的极限存在
提问时间:2020-11-02
答案
根据题意,设此数列为an,an>0则a1=根号2,a(n+1)=根号下(2+an),即[a(n+1)]^2=2+an
易得a2>a1
[a(n+1)]^2-(an)^2=[a(n+1)+an]*[a(n+1)-an]=an-a(n-1)
根据数学归纳法得a(n+1)>an即an为递增数列
下面证明an<2
a1=根号2<2
假设ak<2,a(k+1)=根号下(2+ak)<根号(2+2)=2
有数学归纳法可得,an<2
综上,由极限存在准则得an存在极限.
解得,an的极限为2.
易得a2>a1
[a(n+1)]^2-(an)^2=[a(n+1)+an]*[a(n+1)-an]=an-a(n-1)
根据数学归纳法得a(n+1)>an即an为递增数列
下面证明an<2
a1=根号2<2
假设ak<2,a(k+1)=根号下(2+ak)<根号(2+2)=2
有数学归纳法可得,an<2
综上,由极限存在准则得an存在极限.
解得,an的极限为2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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