题目

找规律化简题
前面我问的"1的平方+2的平方+3的平方+……+N的平方”这题的证明思路

提问时间：2020-11-02

答案

1^2+2^2+3^2+……+N^2＝N(N+1)(2N+1)/6
证明方法：归纳－猜测－证明.
这是高中学到的知识,如果你还没学到,很难解释得清楚.大致是这样的：
1、归纳：
当N＝1时,1^2=1＝1×2×3/6
当N＝2时,1^2+2^2=5＝2×3×5/6
当N＝3时,1^2+2^2+3^2=14＝3×4×7/6
…………
2、猜测：
1^2+2^2+3^2+……+N^2＝N(N+1)(2N+1)/6 （其实就是要求证的结论）
3、证明：
当N＝1时,结论已经证明.
假设当N＝K,K为自然数时,命题成立
即1^2+2^2+3^2+……+K^2＝K(K+1)(2K+1)/6成立
那么当N＝K＋1时,
1^2+2^2+3^2+……+N^2
=1^2+2^2+3^2+……+K^2+(K+1)^2
=K(K+1)(2K+1)/6＋(K+1)^2
=(2K^3+3K^2+K)/6＋(K^2+2K+1)
=(2K^3+9K^2+13K+6)/6
=(K+1)(K+2)(2K+3)/6
等式也成立,原命题得证.
对于第3步的说明：第3步证明了如果N＝K时等式成立的话,那么当N＝K＋1时等式也会成立.之前证明了N＝1时成立,那么K取1时等式显然是成立的,因此N＝K＋1＝2时,等式也会成立；因为N＝2时会成立,那么N＝2＋1时也会成立……