题目

已知A B为椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右两个顶点 F为椭圆的右焦点,
P为椭圆上异于A B点的任意一点 直线AP BP分别交直线l:x=m(m>2)
于M N点,l交x轴于C点
求 对任意给定的m值 求△MFN面积的最小值
高三数学市质检的压轴题,希望有人能解答.
？？？？？？？？？？？？？？
每个人答案都不一样？谁是对的呢？

提问时间：2020-11-02

答案

由图形的对称性,不妨设P点在上半椭圆.设P坐标为(x,y)
过P作PH⊥AB于点H.
那么PH=y,HA=x+2,HB=2-x,AC=m+2,BC=m-2
MC/PH=AC/AH
所以：MC=PH*AC/AH=y(m+2)/(x+2)
NC/PH=BC/BH
所以：NC=PH*BC/BH=y(m-2)/(2-x)
MC*NC=y^2(m^2-4)/(4-x^2)
点P在椭圆上,所以：3x^2+4y^2=12,4-x^2=4y^2/3 代入上式得：
MC*NC=y^2(m^2-4)/(4y^2/3)=3(m^2-4)/4
这个值与P点位置无关,当m是定值,它也是定值.
根据平均值不等式：
MN=MC+NC>=2√MC*NC=√[3(m^2-4)]
即MN的最小值为√[3(m^2-4)]
FC=m-1也是定值.
所以：△MFN面积最小值为(m-1)*√[3(m^2-4)]/2
当且仅当MC=CN时能够取到.
即：y(m+2)/(x+2)=y(m-2)/(2-x)
(m+2)/(x+2)=(m-2)/(2-x)=2m/4=m/2
x=(m-2)/2
即：当x=(m-2)/2时,△MFN取到最小面积(m-1)*√[3(m^2-4)]/2