题目

曲面积分,高斯公式
用高斯公式对一个上半球面积分,添加一个底面让它成为封闭曲面.
这时候问题出现了,对封闭曲面积分后,是要减去这个辅助面的积分呢还是要加上辅助面的积分?
一本书里是加的,另一本里是减的,我困惑了.
对外侧积分和对上侧积分有什么不一样吗？

提问时间：2020-11-02

答案

要减去,减去的是添加曲面上的第二类曲面积分.
而算这个第二类曲面积分的时候,就涉及你添加的这个曲面的侧了,取上侧就是减去正的就是减,取下侧就是减去负的,就加
计算三重积分的时候也涉及到封闭曲面的侧.
所以用高斯公式的时候要考虑两个正负,第一个是高斯公式的正负,第二个是第二类曲面积分转换成二重积分的正负.
楼上的回答的都不准确,都跨过了化第二类曲面积分为二重积分的说明,这也是这样的问题困惑了很多人的原因.
补充:
外侧,内侧是用高斯公式要考虑正负的判断的
上侧,下侧是第二类曲面积分化二重积分时判断的