题目

四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，试判断四边形的形状．

提问时间：2020-11-02

答案

由已知可得
a⁴+b⁴+c⁴+d⁴-4abcd=0，
所以（a⁴-2a²b²+b⁴）+（c⁴-2c²d²+d⁴）+（2a²b²-4abcd+2c²d²）=0，
即（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0．
因为a，b，c，d都是实数，
所以（a²-b²）²≥0，（c²-d²）²≥0，（ab-cd）²≥0，
所

a2−b2＝0                ① c2−d2＝0                ② ab−cd＝0                 ③

 
由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有
a=b=c=d．
故此四边形为菱形．

观察a⁴+b⁴+c⁴+d⁴=4abcd，运用完全平方式转化为（a²-b²）²+（c²-d²）²+2（ab-cd）²=0．运用非负数的性质，偶次方大于等于0．因此可解得a、b、c、d间的数值关系．因此可知四边形的形状．

本题考点：因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；菱形的判定．

考点点评：本题考查因式分解的应用、非负数的性质、菱形的判定．解决本题的关键是将等式转化为多项平方和的形式，令其每项均大于等于0，解出a、b、c、d数值关系．