已知函数f(x)=loga(x-2/x+2),定义域[α,β],值域[logaa(β-1),logaa(α-1)]{＊下标不会打,值域中的a(β-1)和a(α-1)是真数},且f(x)在[α,β]上是 - 超级试练试题库

题目

已知函数f(x)=loga(x-2/x+2),定义域[α,β],值域[logaa(β-1),logaa(α-1)]{＊下标不会打,值域中的a(β-1)和a(α-1)是真数},且f(x)在[α,β]上是减函数,求实数a的范围．我要具体解题过程,
给解题思路也可以

提问时间：2020-11-02

答案

f(x)=loga((x-2)/(x+2))
=loga((x+2-4)/(x+2))
=loga(1-4/(x+2))
1-4/(x+2)是增函数
又f(x)在[α,β]上是减函数
所以0(x-2)/(x+2)>0 -2-2<α<β<2
f(x)在[α,β]上是减函数
所以f(β)=log(a)a(β-1)
log(a)(1-4/(β+2))=log(a)a(β-1)
1-4/(β+2)=a(β-1)
β-2=a(β-1)(β+2)
同理可知
α-2=a(α-1)(α+2)
即方程
x-2=a(x-1)(x+2)有两解-2ax^2+ax-2=x-2
ax^2+(a-1)x=0
ax(x+(a-1))=0
x1=0 x2=1-a
所以 -2<1-a<2
-1综上所述 0

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