题目

设有两个命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；q：函数f（x）=-（5-2a）^x是减函数．若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是______．

提问时间：2020-11-02

答案

由关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立可得△=4a²-16＜0
∴P：-2＜a＜2
由函数f（x）=-（5-2a）^x是减函数可得5-2a＞1则a＜2
q：a＜2
若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q中一个为真，一个为假
①若p真q假，则有

−2＜a＜2 a≥2

此时a不存在
②

a≥2或a≤−2 a＜2

即a≤-2
故答案为：（-∞，-2]

由关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立可得△=4a²-16＜0可得P；由函数f（x）=-（5-2a）^x是减函数可得5-2a＞1可得q，若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q中一个为真，一个为假，分情况求解a

本题考点：复合命题的真假；指数函数的单调性与特殊点；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评：本题主要考查了p或q复合命题的真假的应用，解题的关键是利用二次函数的性质及指数函数的单调性准确求出命题p，q为真时a的范围．