题目

已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=

1

5

．
（1）求tanα的值；
（2）把

1

cos2α−sin2α

用tanα表示出来，并求其值．

提问时间：2020-11-02

答案

解　（1）∵sinα+cosα=

1

5

，∴cosα=

1

5

-sinα，
∵sin²α+cos²α=1，
∴25sin²α-5sin α-12=0．
∵α是三角形的内角，∴

sinα＝ 4 5 cosα＝− 3 5

，
∴tanα=-

4

3

．
（2）

1

cos2α−sin2α

=

sin2α+cos2α

cos2α−sin2α

=

sin2α+cos2α cos2α

cos2α−sin2α cos2α

=

tan2α+1

1−tan2α

．
∵tanα=-

4

3

，
∴

1

cos2α−sin2α

=

tan2α+1

1−tan2α

=-

25

7

．

（1）由sinα+cosα=

1

5

，得cosα=

1

5

-sinα，由α是三角形的内角，得到

sinα＝ 4 5 cosα＝− 3 5

，由此能求出tanα．
（2）由三角函数恒等式得

1

cos2α−sin2α

=

tan2α+1

1−tan2α

．再由tanα=-

4

3

，能求出结果．

本题考点：同角三角函数间的基本关系．

考点点评：本题考查三角函数的求值运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意同角三角函数间的相互关系和三角函数恒等式的合理运用．