题目

用定积分求平面图形面积~
①介于抛物线y^2=2x与圆y^2=4x-x^2之间的三块图形面积；
②曲线y=x^3+3在区间[0,1]上的曲边梯形面积.

提问时间：2020-11-02

答案

只给公式你,求解积分的过程就靠你自己咯~
①：y²=2x,y²=4x-x²
交点为：(2,2),(0,0),(2,-2)
第一块图形的面积在x∈[0,2],√(4x-x²) > √(2x)
Area = ∫(0,2) [√(4x-x²) - √(2x)] dx
= π - 8/3
第二块图形的面积跨越x轴,在x轴上边的面积和x轴下边的面积相同,所以将结果乘以2就行了.
对於x轴上边的面积,又分为在x∈[0,2],√(2x) > 0；在x∈[2,4],1/4个半径为2的圆形
2 * Area = ∫(0,2) √(2x) dx + ∫(2,4) √(4x-x²) dx or ∫(0,2) √(2x) dx + (1/4)[π(2)²]
= 2 * (8/3 + π)
= 16/3 + 2π
第三块图形的面积和第一块的面积相同 = π - 8/3
②：y = x³+3,x∈[0,1]
Area = ∫(0,1) (x³+3) dx
= 13/4
= 3.25